O Cálculo teve sua origem nas dificuldades encontradas pelos antigos matemáticos gregos na sua tentativa de expressar suas idéias intuitivas sobre as razões ou proporções de segmentos de retas, que vagamente reconheciam como contínuas, em termos de números, que consideravam discretos. Iremos encontrar a origem das idéias fundamentais do Cálculo Diferencial e Integral na história da Matemática grega.
Segundo a História, os gregos possuíam já na época em que Euclides escrevia "Os Elementos", quase todos os fundamentos para desenvolver o Cálculo, mas ficaram presos por algumas concepções restritivas. Foram os gregos os primeiros a procurar a compreensão dos fenômenos ligados ao infinito, ao contínuo, ao infinitésimo, em busca de uma explicação para o movimento e as transformações dos seres. Da idéia de movimento virão os primeiros conceitos do Cálculo Diferencial e Integral. Após a crise dos incomensuráveis, que pode ser situada no seio da nascente escola pitagórica, irá surgir outra grande polêmica muito fértil entre os filósofos pré-socráticos. Ao que tudo indica, o problema da incomensurabilidade entre magnitudes gerou algumas concepções polêmicas acerca da natureza do mundo físico, como a doutrina atomística, defendida por Demócrito, que propunha a existência do infinitamente pequeno compondo o ser das coisas. Demócrito, no século quinto a.C., foi o primeiro matemático grego a determinar o volume da pirâmide e do cone. Apesar de os egípcios já saberem encontrar o volume da pirâmide de base quadrada, o mérito de Demócrito está em ter generalizado, bem ao estilo grego, a maneira de determinar o volume para pirâmides de base poligonal qualquer. Para obter o volume do cone, bastava uma inferência natural obtida pelo aumento, repetido indefinidamente, do número de lados do polígono regular formando a base da pirâmide.
Foi, assim, o primeiro a falar de infinitesimais, pensando em utilizar lâminas circulares infinitamente finas para calcular o volume de cilindros e cones, antecipando-se assim ao teorema de Cavalieri, nesses casos. A teoria dos infinitesimais de Demócrito e seus seguidores foi combatida duramente por outra escola filosófica, nascida em Eléa (Magna Grécia), pelo influxo das idéias de Parmênides. A doutrina eleática chamava a atenção para os paradoxos e contradições existentes na concepção do mundo físico como composto por partículas infinitamente pequenas e indivisíveis. Propunha, em substituição, considerar a imutabilidade e unidade essencial do mundo físico. Um aluno de Parmênides, Zeno de Eléa, entrará para a História com seus famoso dons dialéticos. Zeno dizia que a idéia de infinitésimos é totalmente absurda, pois se possuem algum comprimento, então uma quantidade infinita deles irá compor uma reta de comprimento infinito; e se não têm nenhum comprimento, então uma quantidade infinita deles tampouco terá comprimento algum. Além disso, dirá também: aquilo que acrescentado a outro não o faz maior, e subtraído de outro não o faz menor, é simplesmente nada. Mais famosos ainda que esses argumentos sejam seus quatro paradoxos sobre a impossibilidade do movimento. A questão por trás dos paradoxos está em se considerar tempo contínuo e espaço discreto, ou vice versa. Os paradoxos de Zeno recolhem a sensação de certo desamparo intuitivo, pois relatam uma situação de perplexidade comum frente à continuidade e ao infinito. Por exemplo, no caso do Paradoxo da Dicotomia, Zeno nos coloca frente à aparente impossibilidade de percorrermos um número infinito de distâncias num tempo finito. No Paradoxo da Flecha, Zeno vai contra a noção de espaço e tempo constituído por partes indivisíveis. Os paradoxos de Zeno ilustram a perplexidade da mente ante os fenômenos do movimento e da velocidade, trazendo à tona controvérsias intrínsecas que, em geral, tendem a passar despercebidas. Como conseqüência da perplexidade ante esses fenômenos, os gregos desenvolveram o que se chamou de Horror ao Infinito, que na Matemática teve conseqüências muito importantes.
Segundo Boyer, a Matemática adquiriu outra configuração após Zeno: As grandezas não são associadas a números ou pedras, mas a segmentos de reta. Em Os Elementos os próprios inteiros são representados por segmentos. O reino dos números continuava a ser discreto, mas o mundo das grandezas contínuas (e esse continha a maior parte da Matemática pré-helênica e pitagórica) era algo à parte dos números e devia ser tratado por métodos geométricos. De início, a atitude se concretizou numa separação quase completa entre a Teoria dos Números e a Geometria. Pode-se dizer que o "horror ao infinito" gerou, ou ao menos contribuiu significativamente, para o desenvolvimento da Álgebra Geométrica, que consistia na resolução de problemas aritméticos ou algébricos lidando diretamente com grandezas contínuas. A álgebra geométrica ficou registrada principalmente no Livro II de Os Elementos de Euclides, obra cujos treze volumes foram publicados entre 330 e 320 a.C. A obra de Euclides representa o início da busca que resultará no Cálculo Diferencial e Integral. Euclides reúne toda a elaboração grega dos séculos anteriores, e registra o momento em que os pesquisadores começam a se voltar para a possibilidade da exploração da continuidade e da geometria em termos de análise algébrica, interessando-se mais por métodos de redução como o método de exaustão de Eudoxo. Não é por acaso que Arquimedes, bem como todos os criadores do Cálculo no século dezessete, irão se voltar para Euclides e tentar buscar aí as idéias do Cálculo. Para verificarmos de que forma os gregos estavam próximos do Cálculo, é preciso explicar antes o Método de Exaustão de Eudoxo e a utilização que dele fez Arquimedes. O surgimento do Cálculo no século dezessete está em plena conexão com a busca de meios de simplificar os métodos gregos, como o método da exaustão. Para avaliar até que ponto chegaram os gregos, basta verificar que Arquimedes (287-212 a.C) realizou o Cálculo da área sob a parábola antecipando-se, assim, em mais de dezessete séculos aos resultados do Cálculo Integral.
Muitos alunos esbarram nas dificuldades representadas pela linguagem matemática do Cálculo, e não pelas idéias em si. Afinal, como já foi falado, os gregos estiveram a um passo da construção do Cálculo dois séculos antes de Cristo, sem ter ainda sequer uma linguagem algébrica simbólica. As idéias fundamentais do Cálculo podem ser assim construídas, desde que se leve em consideração a distinção entre a lógica da Matemática pronta e a lógica da Matemática em construção. A maneira de ensinar deve seguir muito mais a lógica da Matemática em construção, e não a lógica da Matemática pronta e formalizada.
Segundo a História, os gregos possuíam já na época em que Euclides escrevia "Os Elementos", quase todos os fundamentos para desenvolver o Cálculo, mas ficaram presos por algumas concepções restritivas. Foram os gregos os primeiros a procurar a compreensão dos fenômenos ligados ao infinito, ao contínuo, ao infinitésimo, em busca de uma explicação para o movimento e as transformações dos seres. Da idéia de movimento virão os primeiros conceitos do Cálculo Diferencial e Integral. Após a crise dos incomensuráveis, que pode ser situada no seio da nascente escola pitagórica, irá surgir outra grande polêmica muito fértil entre os filósofos pré-socráticos. Ao que tudo indica, o problema da incomensurabilidade entre magnitudes gerou algumas concepções polêmicas acerca da natureza do mundo físico, como a doutrina atomística, defendida por Demócrito, que propunha a existência do infinitamente pequeno compondo o ser das coisas. Demócrito, no século quinto a.C., foi o primeiro matemático grego a determinar o volume da pirâmide e do cone. Apesar de os egípcios já saberem encontrar o volume da pirâmide de base quadrada, o mérito de Demócrito está em ter generalizado, bem ao estilo grego, a maneira de determinar o volume para pirâmides de base poligonal qualquer. Para obter o volume do cone, bastava uma inferência natural obtida pelo aumento, repetido indefinidamente, do número de lados do polígono regular formando a base da pirâmide.
Foi, assim, o primeiro a falar de infinitesimais, pensando em utilizar lâminas circulares infinitamente finas para calcular o volume de cilindros e cones, antecipando-se assim ao teorema de Cavalieri, nesses casos. A teoria dos infinitesimais de Demócrito e seus seguidores foi combatida duramente por outra escola filosófica, nascida em Eléa (Magna Grécia), pelo influxo das idéias de Parmênides. A doutrina eleática chamava a atenção para os paradoxos e contradições existentes na concepção do mundo físico como composto por partículas infinitamente pequenas e indivisíveis. Propunha, em substituição, considerar a imutabilidade e unidade essencial do mundo físico. Um aluno de Parmênides, Zeno de Eléa, entrará para a História com seus famoso dons dialéticos. Zeno dizia que a idéia de infinitésimos é totalmente absurda, pois se possuem algum comprimento, então uma quantidade infinita deles irá compor uma reta de comprimento infinito; e se não têm nenhum comprimento, então uma quantidade infinita deles tampouco terá comprimento algum. Além disso, dirá também: aquilo que acrescentado a outro não o faz maior, e subtraído de outro não o faz menor, é simplesmente nada. Mais famosos ainda que esses argumentos sejam seus quatro paradoxos sobre a impossibilidade do movimento. A questão por trás dos paradoxos está em se considerar tempo contínuo e espaço discreto, ou vice versa. Os paradoxos de Zeno recolhem a sensação de certo desamparo intuitivo, pois relatam uma situação de perplexidade comum frente à continuidade e ao infinito. Por exemplo, no caso do Paradoxo da Dicotomia, Zeno nos coloca frente à aparente impossibilidade de percorrermos um número infinito de distâncias num tempo finito. No Paradoxo da Flecha, Zeno vai contra a noção de espaço e tempo constituído por partes indivisíveis. Os paradoxos de Zeno ilustram a perplexidade da mente ante os fenômenos do movimento e da velocidade, trazendo à tona controvérsias intrínsecas que, em geral, tendem a passar despercebidas. Como conseqüência da perplexidade ante esses fenômenos, os gregos desenvolveram o que se chamou de Horror ao Infinito, que na Matemática teve conseqüências muito importantes.
Segundo Boyer, a Matemática adquiriu outra configuração após Zeno: As grandezas não são associadas a números ou pedras, mas a segmentos de reta. Em Os Elementos os próprios inteiros são representados por segmentos. O reino dos números continuava a ser discreto, mas o mundo das grandezas contínuas (e esse continha a maior parte da Matemática pré-helênica e pitagórica) era algo à parte dos números e devia ser tratado por métodos geométricos. De início, a atitude se concretizou numa separação quase completa entre a Teoria dos Números e a Geometria. Pode-se dizer que o "horror ao infinito" gerou, ou ao menos contribuiu significativamente, para o desenvolvimento da Álgebra Geométrica, que consistia na resolução de problemas aritméticos ou algébricos lidando diretamente com grandezas contínuas. A álgebra geométrica ficou registrada principalmente no Livro II de Os Elementos de Euclides, obra cujos treze volumes foram publicados entre 330 e 320 a.C. A obra de Euclides representa o início da busca que resultará no Cálculo Diferencial e Integral. Euclides reúne toda a elaboração grega dos séculos anteriores, e registra o momento em que os pesquisadores começam a se voltar para a possibilidade da exploração da continuidade e da geometria em termos de análise algébrica, interessando-se mais por métodos de redução como o método de exaustão de Eudoxo. Não é por acaso que Arquimedes, bem como todos os criadores do Cálculo no século dezessete, irão se voltar para Euclides e tentar buscar aí as idéias do Cálculo. Para verificarmos de que forma os gregos estavam próximos do Cálculo, é preciso explicar antes o Método de Exaustão de Eudoxo e a utilização que dele fez Arquimedes. O surgimento do Cálculo no século dezessete está em plena conexão com a busca de meios de simplificar os métodos gregos, como o método da exaustão. Para avaliar até que ponto chegaram os gregos, basta verificar que Arquimedes (287-212 a.C) realizou o Cálculo da área sob a parábola antecipando-se, assim, em mais de dezessete séculos aos resultados do Cálculo Integral.
Muitos alunos esbarram nas dificuldades representadas pela linguagem matemática do Cálculo, e não pelas idéias em si. Afinal, como já foi falado, os gregos estiveram a um passo da construção do Cálculo dois séculos antes de Cristo, sem ter ainda sequer uma linguagem algébrica simbólica. As idéias fundamentais do Cálculo podem ser assim construídas, desde que se leve em consideração a distinção entre a lógica da Matemática pronta e a lógica da Matemática em construção. A maneira de ensinar deve seguir muito mais a lógica da Matemática em construção, e não a lógica da Matemática pronta e formalizada.
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